編者按：為什么要提出這個命題?因為越是到數學課程改革的深處，越發現這個問題的重要。“繼承與創新”說起來簡單，實際上是一個很難的事情，難就難在對什么應該繼承、什么應該創新的判斷。在改革中，“傳統”似乎一直是被打壓的對象，“傳統”就是應當被革命的事物的代名詞。論起理來，大家也都覺得優良傳統應該繼承，可是具體說來，什么才是我們今天應當發揚的“優良”傳統，卻諱莫如深。追根溯源，是我們對傳統抱有偏見，對“優良”傳統的內涵還沒搞清楚，對真正的傳統缺乏很好的歸納、審視和總結。在“課程改革再出發”之際，我們很有必要在以前諸多爭論的基礎上，對這個具有本原性的問題做一個徹底的探討。更重要的是，我們需要一個開誠布公的對話渠道，一個健康的學術爭鳴環境。如此才能真正解決問題。

    關于中國數學教育的特色——與國際上相應概念的對照

    ●張奠宙

    用一句話來概括中國數學教育的特色，那就是：“在良好的數學基礎上謀求學生的數學發展。”這里的“數學基礎”，其內涵就是三大數學能力：數學運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力；這里的“數學發展”是指：提高用數學思想方法分析問題和解決問題的能力，促進學生在德智體各方面的全面發展。與此相應的教學方式，則是貫徹辯證唯物主義精神，進行“啟發式”教學，關注課堂教學中的數學本質，倡導數學思想方法教學，運用“變式”進行練習，加強解題規律的研究。

    這樣的特色，也可以用“數學雙基教學”的習慣性說法加以表述。“雙基”是指基礎知識和基本技能。但是“雙基教學”不等于“雙基”本身。作為一種教學思想，“雙基教學”并不是單純地強調打基礎，還包括在打好基礎之上的發展。以為“雙基教學”不要發展，那是一種誤解。

    中國的數學課堂教學，具有許多與世界主流研究不同的特色。有一個時期，這些特色或者被當作批判揚棄的對象，或者被認為是雕蟲小技不予重視，還有一些則停留在樸素的層面，缺乏理論加工。相對于大肆追捧國外的一些光怪陸離卻并無實踐效果的“概念”和理論，我們未免有點“妄自菲薄”，太瞧不起自己了。

    以下我們分別簡述中國數學教育的六個特征，并和國外的有關提法相對照，借以顯示中國數學教育的特色所在。

  1．注重“導入”環節。

    涂榮豹指出，中國數學教學長于由“舊知”導出“新知”，“引入新課”往往是數學教師最為精心設計的部分①。注重“導入”環節，是貫徹啟發式教學的關鍵之一。一個好的“導入”設計，往往會成為一堂課成功的關鍵。經過多年的積累，我國在“數學導入”上，已經發展為一門藝術。

    國外引進的、強調聯系學生日常生活的“情境設置”，只是“導入”的一種。事實上，就數學課堂而言，能夠設置與學生的日常生活相聯系的“情境”，只能是少數。大多數的數學課，尤其是大量的“數與式”的運算規則的程序性數學內容，多半沒有現實情境可言。例如，因式分解、合并同類項、冪和指數運算等，很難設置現實情境。但是可以用適當的方式導入。比如，用“整數的質因數分解”導出“因式分解”、用“同類歸并”的樸素思想導入“合并同類項”、用“連加為乘”導出“連乘為冪”等都是可行的。中國數學課堂上，呈現了許多獨特的導入方式，除了現實“情境呈現”之外，還包括“假想模擬”、“懸念設置”、“故事陳述”、“舊課復習”、“提問誘導”、“習題評點”、“鋪墊搭橋”、“比較剖析”等手段。    這些導入方式，是“啟發式”教學的有機組成部分。最近一段時間以來，我們提倡“情境教學”是正確的，但是，人不能事事都直接經驗，大量獲得的是間接經驗。從學生的日常生活情境出發進行數學教學，只能是啟發式的“導人”的一種加強和補充，不能取消或代替“導入”教學環節的設置。堅持“導人新課”的教學研究，弄清它和“情境設置”的關系，是我們的一項任務。

    2．“嘗試教學”。

    1980年代，顧泠沅通過群眾性地總結當時的數學教育優秀個案，提出“嘗試指導、效果回授”的教學策略②，風靡大江南北。小學數學教育界，則有邱學華倡導的“嘗試教學法”③，具有全國性影響。他們的經驗中都有“嘗試”二字。這是一個有價值的“創造”。

    西方相應的理念是“探究、發現、創造”。但是，對于中小學生而言，在課堂學習中，要在短短的九年義務教育中，把人類幾千年來反復思考、經過實踐檢驗的最基礎的知識“探究、發現、創造出來”，那是難以做到的。

    在數學教學中，讓學生進行“嘗試”，比較符合基礎教育的實際。嘗試的含義是，提出自己的想法，可以對，也可以不對；可以成功，也可以失敗；可以做到底，也可以中途停止。嘗試，不一定要“自己”把結果發現出來，但是卻要有所設想、敢于提問、勇于試驗。讓學生在聽取教師的講課時，根據自己或對或錯的“嘗試”進行對照，并通過師生互動，最后把握知識的真諦，這是有效的可以操作的自主學習方式。

    總之，“嘗試教學”的含義較廣，它可以延伸為“探究、發現”。“嘗試教學”，可以在每一節課上使用，探究、發現數學規律，則只能少量為之。“嘗試教學”，應該從理論上進一步探討。

    3．師班互動。

    國外盛行的“分組探究”、“代表匯報”、“彼此討論”、“教師總結”，是一種有效的師生互動形式，但是比較適合于小班教學。如果班上人數超過30人，分組很多，教師對小組的指導就難以全面。

    據曹一鳴等的調查，“師班互動”是課堂師生互動的主要類型④。中國的課堂人數相對較多，一般是40人，多的達60人。這樣的大班上課，用分組討論、匯報交流的教學方式十分困難。那么，數學課堂如何避免“滿堂灌”，實現師生互動呢?在長期的實踐中，中國的數學教師采用了“設計提問”、“學生口述”、“教師引導”、“全班討論”、“黑板書寫”、“嚴謹表達”、“互相糾正”等措施，實現了師生之間用數學語言進行交流，和諧對接，最后形成共識的過程。這是一個具有中國特色的創造。

    我們注意到，當教師提出數學問題時，會要求學生站起來回答。學生或者用口頭的數學語言敘述證明過程，或者使用心算得出計算結果。如果一位學生回答不完整，由其他學生補充和更正。最后，教師將學生語言的表達，經過提煉形成嚴謹的書面數學語言，寫在黑板上。這樣，學生和學生、學生和教師之間通過“大聲說”的方式，暴露數學思維過程，進行心算演練，而且在討論中互相補充糾正，教師點撥總結，最后用嚴謹的書面語言寫在黑板上。這是一種和諧的數學語言對接。筆者曾經接待過一位美國同行，他對此非常贊賞。

    小班的合作學習，與大班的“師班互動”，各有短長。不過，大班上課是中國國情所決定的，它仍是主流。

    4．解題變式演練。

    變式教學為我國各科教學所采用，但以數學教學中運用更為普遍。尤其是數學解題過程中采用變式練習，成為中國數學教育的重要特色。數學的變式教學就是通過不同的角度、不同的側面、不同的背景從多個方面變更所提供的數學對象的某些內涵以及數學問題的呈現形式，使數學內容的非本質特征時隱時現而本質特征保持不變的教學形式。變式教學使學生做練習時的思維過程具有合適的梯度，逐步增加創造性因素；有時可將一道題進行適當的引申和變化，為學生提供嘗試發展的階梯；練習題的組合應有利于學生概括各種解題技能，或從不同的角度更換解題的技能和方法。

    在數學解題教學中進行變式練習，要求教師編制成順序排列的訓練題，為學生的思維發展提供一個個的階梯。練習題雖重復但不呆板，有利于學生構建完整、合理的新知識。每一個變式，具有一定的創新意味，但是又能夯實基礎，實現“在堅實的基礎上有所發展”的教學理念。

    教育的一條基本規律是“循序前進”。在面對成績中下的學生時，曾經有“小坡度，小轉彎，小步走”的“三小”教學法；考試輔導書中大量編制的各種水平的變式練習題，這些都和數學變式練習密切相關。

    5．提煉“數學思想方法”。

    數學教學中關注數學思想方法的提煉，是中國數學教育的重要特征。長期以來，我國的數學教學重視概念的理解、證明的過程、解題的思路，提倡數學知識發生過程的教學。這些都是重視數學思想方法的教學理念。

    1980年代，徐利治正式提出“數學思想方法”的理論，用來指導中小學數學教學。這一構想，迅速在中國數學教育界獲得熱烈反響，并直接用于課堂教學。除了“分析綜合”、“歸納演繹”、“聯想類比”等一般數學思想方法之外，還使用“數形結合”、“化歸方法”、函數思想、方程思想、關系一映射一反演原理以及“幾何變換”、“等價轉換”、“逐步逼近”、“特例解剖”等解題策略。至于“變量替換”、“待定系數法”、“十字相乘法”等具體解題方法，一向都有，現在更加豐富起來。最可貴的是，這些數學思想方法，不是停留在理論探討上，而是付諸實踐，成為每一個中國數學教師的共識。數學教師普遍具有數學思想方法的教學意識，掌握數學思想方法的內涵，將數學思想方法用于解題，并能夠用數學思想方法進行總結和反思。這是一筆巨大的精神財富。學生在進行數學學習的時候，不僅會解題，而且得到數學思想方法的訓練和熏陶，發展自己的數學思維能力。這是一道多么亮麗的教育風景!

    到現在為止，西方的數學教育界還沒有提出能夠直接與“數學思想方法”相對應的數學教育研究領域。至于“過程性”教學目標的提法，則比較籠統。

    6。解讀“熟能生巧”。

    “熟能生巧”，是中國文化傳統的組成部分，也是中國數學教育的重要理念之一。查查國外的教育文獻，沒有一種教育理論是支持“熟能生巧”的。即使中國社會普遍接受“熟能生巧”，國內的教育文獻，也鮮見于著述。教育界似乎把“熟能生巧”等同于“死記硬背”了。那么，“熟能生巧”為什么是正確的呢?

    大數學家華羅庚有詩云：“妙算還從拙中來，愚公智叟兩分開。積久方顯愚公智，發白始知智叟呆。埋頭苦干是第一，熟能生出百巧來。勤能補拙是良訓，一分辛勞一分才。”⑤    數學大師陳省身先生在一次《焦點訪談》節目中說：“做數學，要做得很熟練，要多做，要反復地做，要做很長時間，你就明白其中的奧妙，你就可以創新了。靈感完全是苦功的結果，要不靈感不會來。”⑥

    研究數學如此，學習數學何嘗不是如此?西方的教育理論忽視這一點，是不明智的。數學教育應該率先總結“熟能生巧”的規律。

    具體說來，“熟能生巧”有以下教育內涵：1。記憶通向理解。2．速度贏得效率。3．嚴謹形成理性。4。重復依靠變式。此外，“熟能生巧”、“溫故而知新”等傳統格言，在基礎訓練和創新思維之間的關系上，具有獨特的中國視野。

    綜上所述，我們可以借用“數學雙基模塊”的三維圖示⑦(見下圖)作一個概括。首先是發揮教師的主導作用，組織學生的嘗試活動，將主要的基本知識基樁經過配套連接，成為一條“數學基本知識鏈”，然后通過“變式”形成知識網絡，做到熟能生巧，再經過數學思想方法的提煉，得到數學能力的升華，形成立體的知識模塊。學生的數學結構正是由一個個的“雙基”模塊疊加、耦合、連接所構成的。

    這里出現的元素，都是中國特色的。

    如何對待“數學基礎”，是一個全球性的問題。美國在1960年代搞“新數學”運動，強調創新，卻忽視基礎；于是在1970年代提出要“回到基礎”；1980年代提出“問題解決”的口號，再次倡導創新發展；2008年的口號是“為了成功打好基礎”⑧。這是美國的“翻燒餅”式的折騰。

    我國的數學“雙基”教學，也是在儒家文化、科舉文化、考據文化的傳統上，經過正反兩方面的實踐所形成的。此外，中國數學教育的特色并非一成不變。“雙基”可以發展。例如提出增加“數學基本活動”和“基本數學思想方法”成為“四基”，也是可行的。但是，“四基”畢竟是在“雙基”之上發展起來的。數學教育的改革，不能割斷歷史，不能廢棄傳統，不能“以洋非中”。(作者單位系華東師范大學數學系)

注釋：

    (1)涂榮豹：《“知識本位”的教學環境》，收入張奠宙編：《中國數學雙基教學》，上海教育出版社，2006，第9頁。

    ②上海市青浦縣數學教改實驗小組：《學會教學》，人民教育出版社，1991。

    ③邱學華：《嘗試教學法》，福建教育出版社，1995。

    ④曹一鳴、賀晨：《初中數學課堂師生互動行為主體類型研究》，《數學教育學報》2009年第5期。

    ⑨華羅庚著：《從孫子的“神機妙算”談起》，科學出版社，1963。

    (9陳永JII：《懷念恩師陳省身先生》，www‘c~mbinat~rics‘net‘crdnews／zu~tard

zuotanl205．htm。

    (z)張奠宙：《中國數學雙基教學》，上海教育出版社，2006。

  ⑧National Mathematics AdvisoryPanel．Foundations fnr Success：The FinalReport 0f the National Mathematics Ad-w‘sory Panel．U．S．Department of Edu-cati’on：Washington．DC．2008．